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Le théorème d’incomplétude de Gödel montre que des limites existent dans tous les systèmes

Le théorème d’incomplétude de Gödel montre que des limites existent dans tous les systèmes

Les théorèmes d’incomplétude de Kurt Gödel ont été écrits en 1931, mais on en parle encore aujourd'hui et ils feront l’objet de nombreuses autres discussions à venir. La raison pour laquelle le théorème d’incomplétude de Gödel est si intrigant est qu’il vise à montrer les défauts du système que nous avons créés pour nous-mêmes.

Pour être plus clair, les théorèmes d'incomplétude de Gödel montrent que tout système logique se compose soit de contradictions, soit d'énoncés qui ne peuvent être prouvés.

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Ces théorèmes sont très importants pour nous aider à comprendre que les systèmes formels que nous utilisons ne sont pas complets. (UNEsystème formel est un système d'axiomes, contenant des règles d'inférence, qui permettent de générer de nouveaux théorèmes.) Cela ouvre également l'argument qu'aucune théorie en physique, en mathématiques ou dans toute autre verticale ne peut jamais être sûre à 100%.

Pendant longtemps, les mathématiciens ont été gênés par le fait qu'ils ne pouvaient pas prouver des choses évidentes, faute de méthodes pour le faire.

Dans les années 1900, une tendance à la formalisation des mathématiques était en effet, aidant les mathématiciens à résoudre les problèmes les plus difficiles en travaillant à une théorie de tout - une théorie unificatrice pour toutes les mathématiques.

Cependant, les théorèmes d'incomplétude de Gödel ont montré qu'une telle théorie unique de tout ne serait pas possible. Tout ne peut pas être prouvé, car il y aura toujours des affirmations en mathématiques qui ne peuvent être ni prouvées ni réfutées.

Tout système formel cohérent F dans lequel une certaine quantité d'arithmétique élémentaire peut être effectuée est incomplet; c'est-à-dire qu'il y a des déclarations du langage de F qui ne peuvent être ni prouvées ni réfutées dans F.

Dans cette déclaration, vous devez prêter attention aux deux mots «cohérent» et «incomplet».

Un système est Cohérent lorsque les déclarations qu’il contient n’ont aucune contradiction.

Un système est Incomplet lorsque tout ou partie des déclarations qu'il contient ne peut être prouvée ou réfutée.

Le théorème déclare qu'un système F qui n’a pas de contradiction dans les déclarations appliquées à l’arithmétique élémentaire aura des axiomes que nous ne pouvons ni prouver ni réfuter.

Maintenant, vous pouvez vous demander pourquoi nous ne pouvons pas complètement réfuter ou prouver quelque chose. En mathématiques, les axiomes sont des énoncés ou des propositions qui sont considérés comme établis, acceptés ou manifestement vrais et qui n'ont pas besoin d'être prouvés dans le théorème.

Les axiomes sont très importants en mathématiques car ils aident le mathématicien à élargir son champ d'étude sans avoir à prouver à nouveau tous les aspects du théorème.

Le premier théorème d’incomplétude de Gödel, cependant, déclare que certaines vérités arithmétiques ne sont pas prouvables car cela exigerait un système formel qui incorpore des méthodes allant au-delà du système arithmétique utilisé pour les dériver.

Pour tout système cohérent F dans lequel une certaine quantité d'arithmétique élémentaire peut être effectuée, la cohérence de F ne peut pas être prouvée dans F lui-même.

Ceci est une extension du premier théorème d’incomplétude et montre qu’un système formel qui se prétend cohérent ne peut pas prouver qu’il n’a pas de contradictions. Dans le cas du deuxième théorème,F doit contenir un peu plus d'arithmétique que dans le cas du premier théorème.

Gödel a démontré ce théorème en utilisant le paradoxe du menteur.

Considérez la déclaration «Je mens». «Je mens» est contradictoire, car si c’est vrai, je ne suis pas un menteur, et c’est faux; et si c’est faux, je suis un menteur, donc c’est vrai.

Par conséquent, la déclaration ne peut jamais se prouver ou se réfuter.

Avant les théorèmes de Gödel, le monde mathématique était régi par le programme de Hilbert. Cela a été formulé par David Hilbert au début du 20e siècle pour mettre fin aux paradoxes trouvés dans la Théorie des Ensembles. Il a appelé à une formalisation de toutes les mathématiques sous forme axiomatique, avec une preuve que cette axiomatisation des mathématiques est cohérente.

Ces paradoxes devenaient assez difficiles pour les mathématiciens. Ainsi, Hilbert a divisé les énoncés mathématiques en deux - Contentuel et Idéal.

Les mathématiques contentuelles sont considérées comme intrinsèquement cohérentes et arithmétiques. Les mathématiques idéales sont des mathématiques ayant une valeur instrumentale en science ou une simplicité mathématique.

Essentiellement, les mathématiques idéales sont conceptuelles tandis que les mathématiques finies ou les mathématiques de contenu ont une utilisation pratique.

Pour apporter un sens de principe solide en mathématiques, Hilbert a proposé que les mathématiques devraient être basées sur une base prouvable et cohérente d'axiomes. Hilbert a appelé cela le «point de vue finitaire».

Cependant, les théorèmes d’incomplétude de Gödel réfutaient les arguments du programme de Hilbert. Les théorèmes de Gödel qui déclarent que tout système contenant de l’arithmétique aura des arguments que nous ne pouvons ni prouver ni réfuter et que nous ne pouvons pas prouver qu’un système mathématique est cohérent, jette l’argument sur la cohérence finitaire hors de la fenêtre.

Le théorème de Gödel a porté un coup dur au programme de Hilbert, et les mathématiciens ont cessé d’utiliser cette approche pour évaluer les systèmes finitaires et idéaux. Gödel a essentiellement prouvé que dans n'importe quelle branche des mathématiques, il y aura des arguments que l'on ne peut ni prouver ni réfuter.

Cela a ouvert une variété d'arguments, non seulement en mathématiques, mais aussi dans d'autres domaines de la science et de la logique.

Par exemple, le théorème de Gödel implique que vous ne serez jamais capable de vous comprendre vraiment parce que votre esprit est contenu dans un système fermé et ne peut connaître les choses que de son propre point de vue.

Avec les théorèmes d'incomplétude de Gödel, nous savons que tout processus qui gère l'arithmétique de base aura des déclarations que nous ne pouvons ni prouver ni réfuter. Dans un sens moderne, cela signifie que vous ne pouvez pas créer un compilateur ou un antivirus parfait.

Ses théorèmes ont permis la dérivation de plusieurs résultats sur les limites des procédures de calcul. Un exemple frappant est l'insolvabilité du problème de l'arrêt.

Un problème d'arrêt est un problème pour savoir si un programme avec une entrée donnée s'arrêtera à un moment donné ou continuera à fonctionner dans une boucle infinie. Ce problème de décision est utile pour démontrer les limites de la programmation.

La déclaration de Gödel selon laquelle il y a plus de choses vraies que vous ne pouvez le prouver peut également être utilisée pour illustrer que la foi et la raison ne sont pas opposées, mais interdépendantes. Toutes les formes de raison auront quelque chose que vous ne pouvez pas prouver.

Le théorème de Gödel a même été utilisé comme construction logique pour prouver l’existence de Dieu (preuve ontologique de Gödel).

Les théorèmes ne signifiaient pas la fin des mathématiques, mais étaient une nouvelle façon de prouver et de réfuter des affirmations basées sur la logique. Le théorème de Gödel nous a montré les limites qui existent dans tous les systèmes logiques et a jeté les bases de l’informatique moderne.


Voir la vidéo: Les théorèmes dincomplétude de Gödel (Octobre 2021).