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Formule, équations et calculs de filtre de Butterworth

Formule, équations et calculs de filtre de Butterworth


Le filtre Butterworth est une forme populaire de filtre fournissant une réponse intrabande extrêmement plate. Il existe des formules ou des équations qui peuvent être utilisées pour ces calculs et de cette manière, il est possible de comprendre plus facilement les compromis et le fonctionnement.

En utilisant les équations du filtre Butterworth, il est relativement facile de calculer et de tracer la réponse en fréquence ainsi que de déterminer les valeurs nécessaires.

Réponse en fréquence du filtre Butterworth

Le filtre de Butterworth étant plat au maximum, cela signifie qu'il est conçu de telle sorte qu'à fréquence nulle, les 2n-1 premières dérivées de la fonction puissance par rapport à la fréquence soient nulles.

Ainsi, il est possible de dériver la formule de la réponse en fréquence du filtre de Butterworth:

|Ven dehorsVdans|2=11 +(FFc)2n

Où:
f = fréquence à laquelle le calcul est effectué
Fc = la fréquence de coupure, c'est-à-dire la moitié de la puissance ou -3 dB
Vin = tension d'entrée
Vout = tension de sortie
n = nombre d'éléments dans le filtre

L'équation peut être réécrite pour donner son format plus habituel. Ici H (jω) est la fonction de transfert et on suppose que le filtre n'a pas de gain, c'est-à-dire qu'il ne s'agit pas d'un filtre actif.

|H(jω)|=11+(ωωc)2n

Où:
H (jω) = fonction de transfert à fréquence angulaire ω
ω = fréquence angulaire et est égal à 2πf
ωc = fréquence de coupure exprimée en valeur angulaire et égale à 2πfc

Remarque: Peu importe que ω / ωo ou f / fc est utilisé car il ne s'agit que d'un rapport des deux chiffres. Si ω qui est 2πf est utilisé, alors le facteur 2π s'annule car il est à la fois en haut et en bas de la fraction.

Lorsque vous souhaitez exprimer la perte du filtre Butterworth à tout moment, la formule de Butterworth ci-dessous peut être utilisée. Cela donne l'atténuation en décibels à tout moment.

UNE =10Journal10(1+(ωωc)2n)

Exemple de calcul de filtre Butterworth

Pour donner un exemple de la réponse du calcul du filtre de Butterworth, prenons un exemple du circuit donné ci-dessous. Comme il est normal avec ces calculs, des valeurs normalisées sont utilisées lorsque la fréquence de coupure est de 1 radian, soit 1/2 1 Hz, l'impédance est de 1 Ω et les valeurs sont données en Farads et Henries.

L'exemple ci-dessous utilise certaines des valeurs les plus simples, avec une impédance de 1Ω, et des valeurs pour le condensateur de 2 Farads et les inductances en série de 1 Henry.


En utilisant la formule ci-dessus et une connaissance du point de coupure étant de 0,159 Hz, il est possible de calculer des valeurs de réponse à différentes fréquences:


Réponse du filtre Butterworth
Fréquence (Hz)Puissance de sortie relative
0.001.00
0.070.99
0.0950.95
0.1590.50
0.2230.117
0.2540.056
0.3180.015

Poteaux de filtre Butterworth

Les pôles d'un filtre passe-bas de Butterworth de fréquence de coupure ωc sont régulièrement espacés autour de la circonférence d'un demi-cercle de rayon ωc centré sur l'origine du plan s.

Les pôles d'un filtre bipolaire sont à ± 45 °. Celles d'un filtre tétrapolaire sont à ± 22,5 ° et ± 67,5 °. D'autres cas peuvent également être déduits de la même manière.

Cependant le tableau ci-dessous fournit les pôles des filtres de Butterworth passe-bas avec un à huit pôles et une fréquence de coupure de 1 rad / s, c'est-à-dire pour un filtre normalisé.


Pôles des polynômes de Butterworth normalisés
OrdrePoteaux
1−1 ± j 0
2−0.707 ± j 0.707
3−1 ± j 0, −0.5 ± j 0.866
4−0.924 ± j 0.383, −0.383 ± j 0.924
5−1 ± j 0, −0.809 ± j 0.588, −0.309 ± j 0.951
6−0.966 ± j 0.259, −0.707 ± j 0.707, −0.259 ± j 0.966
7−1 ± j 0, −0.901 ± j 0.434, −0.624 ± j 0.782, −0.222 ± j 0.975
8−0.981 ± j 0.195, −0.832 ± j 0.556, −0.556 ± j 0.832, −0.195 ± j 0.981

Ces équations de base fournissent la base pour développer un filtre LC Butterworth simple adapté aux RF et à d'autres applications.

Voir la vidéo: ELE2611 Classe 2-1: Représentation des quadripôles (Octobre 2020).